高等数学教案例题

篇一:高等数学教案

课程名称 高等数学

授课班级 天原2大专班

授课教师 付海龙

第一次课

第二次课

篇二:高等数学教案

篇三:高等数学word教案

第14 次课2学时

第一节中值定理

中值定理

1.

罗尔定理

如f?x?满足:(1)在?a,b?连续.(2)在

?a,b?可导.(3)f(a

)?f(b), 则至少存在一点

???a,b?,使f/????0

证明:(1) 如果f(x)是常函数? 则f ?(x)?0? 定理的结论显然成立?

(2) 如果f(x)不是常函数? 则f(x)在(a? b)内至少有一个最大值点或最小值点? 不妨设有一最

大值点??(a? b)? 于是

f?(?)?f??(?)?lim?

x??

f(x)?f(?)

?0?

x??f(x)?f(?)

?0?

x??

f?(?)?f??(?)?lim?

x??

所以f ?(x)=0.

罗尔定理的几何意义?

直于x 线的切线水平。 例1设g

?x??x?x?1??2x?1?则

在区间(-1,0)内,方程g/?x??0有2个实根;g//?x??0有1个根. 例2设f?x?在[0,1]可导,且f?0??f?1??0,证明存在???0,1?,使f?????f证: 设F?x??xf?x?在[a,b]可导,F?0??F?1? ∴存在???0,1?使F????0即f?????f

/

/

/

????0。

????0.

/

例3设f?x?在[0,1]可导,且f?0??f?1??0,证明存在???0,1?,使F????F????0 。 解: 设F?x??ef?x?,且F?0??F?1?由罗尔定理,存在???0,1?, 使F????0 ,

x

/

即ef????ef????0,e?0,? f????f

?

?

/

?/

????0

2、 拉格朗日中值定理

如满足:在[a,b]连续;在(a,b)连续,则存在???a,b?,使f?b??f?a??f/????b?a?. 证明? 引进辅助函数??(x)?f(x)?

f(b)?f(a)

x?

b?a

容易验证函数??(x)适合罗尔定理的条件? ?(a)??(b)?0? ?(x)在闭区间[a? b] 上连续在开区间(a? b)内可导?

且???(x)?f ?(x)?

f(b)?f(a)

?

b?a

根据罗尔定理? 可知在开区间(a? b)内至少有一点?? 使? ?(?)?0? 即

f(b)?f(a)

?0?

b?a

f(b)?f(a)

由此得 ? f ?(?) ?

b?a

f ?(?)?

即 f(b)?f(a)?f ?(?)(b?a)? 定理证毕?

直于x

拉格朗日中值公式的其它形式?

设x 为区间[a? b]内一点? x??x 为这区间内的另一点(?x>0或?x<0)? 则在[x? x??x ] (?x>0)或[x??x? x ] (?x<0)应用拉格朗日中值公式? 得

f(x??x)?f(x)?f ?(x???x) ? ?x (0<?<1)?

如果记f(x)为y? 则上式又可写为

?y?f ?(x???x) ? ?x (0<?<1)?

试与微分d y?f ?(x) ? ?x 比较? d y ?f ?(x) ? ?x是函数增量?y 的近似表达式? 而 f ?(x???x) ? ?x是函数增量?y 的精确表达式? 推论:⑴ 如果在区间I上f/?x??0,则f?x??c.

证 在区间I上任取两点x1? x2(x1<x2)? 应用拉格朗日中值定理? 就得

f(x2)?f(x1)?f ?(?)(x2 ? x1) (x1<?< x2)?

由假定? f ?(?)?0? 所以f(x2)?f(x1)?0? 即 f(x2)?f(x1)?

因为x1? x2是I上任意两点? 所以上面的等式表明? f(x)在I上的函数值总是相等的? 这就是说? f(x)在区间I上是一个常数? 例4 证明对任意满足x?1的x, 都有 arctg?x?1arcsinx??.

1?x

2

4

证明:设 f?x??arctg?x?1arcsinx

1?x2

f/?x??

11?211

???2

1?x?x1?x2?x21?21?x1?x

1 ??1?1?x?1?x?2? ?022?x21?x2?x2

? ∴∴f?x??c∵

f?0??

4

f?x??

?

4

例5

设?x?0?,证明x?ln?1?x??x.

1?x

证明:设f(t)?ln(1?x),则f(t)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值条件, 则有f(x)?f(0)?f(?)(x?0),0???x. 又由于f(0)?0,f(?)?

'

'

1

,所以上式即为 1??

ln(1?x)?

xxx,又由于0???x,有??x,即 1??1?x1??

x

?ln?1?x??x. 1?x

3. 柯西中值定理

如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a? b]上连续? 在开区间(a? b)内可导? 且F ?(x)在(a? b)内的每一点处均不为零? 那么在(a? b)内至少有一点??? 使等式

f(b)?f(a)f?(?)

? ?

F(b)?F(a)F()成立?

显然? 如果取F(x)?x? 那么F(b)?F(a)?b?a? F ?(x)?1? 因而柯西中值公式就可以写成?

f(b)?f(a)?f ?(?)(b?a) (a<?<b)?

这样就变成了拉格朗日中值公式了?

第次课学时

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